فرمول کشش سطحی، خاصیت مویینگی

کشش سطحی

کشش سطحی ناشی از اختلاف جاذبه بین مولکولهای یکسان و جاذبه بین مولکولهای غیر یکسان است. در داخل مایع، نیروهای پیوستگی یکدیگر را خنثی می کنند ولی در سطح آزاد مایع نیروهای پیوستگی که از پایین اثر میکنند از نیروهای چسبندگی محل تماس مایع و گاز بیشتر می شود. بدلیل تفاوت این نیروها مرز دو سیال شبیه یک پوسته تحت کشش عمل میکند. کشش سطحی خاصیتی است که مربوط به دو سیال است و بخاطر وجود دو فاز کنار هم می باشد. کشش سطحی تابع دما است. هر چه دما بیشتر باشد کشش سطحی کمتر است. خاصیت مواد شوینده کشش سطحی آب را کم میکند.

مثال 1

حباب آب صابون داریم. تغییرات فشار داخل و بیرون آن را بدست آورید؟

توضیحات: ابتدا حباب آب صابون را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر آن را رسم میکنیم. نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون حباب در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد میشود و نیرویی دیگر برابر با کشش سطحی که توسط سطح بیرونی حباب در محل برش ایجاد میشود و نیروی دیگری که برابر با کشش سطحی است که توسط سطح درونی حباب در محل برش ایجاد میشود که مجموع نیروی کشش سطحی برابر است با نیروی اختلاف فشار و داریم:

مثال 2

یک قطره آب داریم. تغیرات فشار داخل و بیرون قطره را بدست آورید؟

توضیحات: ابتدا قطره آب را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر آن را رسم میکنیم. نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون قطره در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد میشود و نیرویی دیگر برابر با کشش سطحی بر برش قطره وارد میشود. با مساوی قرار دادن این دو نیرو داریم:

$\begin{align} & {{F}_{1}}=\sigma \pi D \\ & {{F}_{2}}=\Delta PA \\ & A=\pi \frac{{{D}^{2}}}{4} \\ & \Rightarrow {{F}_{2}}=\Delta P\left( \frac{\pi {{D}^{2}}}{4} \right) \\ & {{F}_{1}}={{F}_{2}}\Rightarrow \sigma \pi D=\Delta P\left( \frac{\pi {{D}^{2}}}{4} \right) \\ & \Rightarrow \Delta P=\frac{4\sigma }{D} \\ \end{align}$

مثال 3

یک حباب هوا درون آب تشکیل شده است. تغیرات فشار داخل و بیرون حباب را بدست آورید؟

توضیحات: ابتدا حباب هوا را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر آن را رسم میکنیم.نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون حباب در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد میشود ونیرویی دیگر برابر با کشش سطحی بر برش حباب وارد میشود.با مساوی قرار دادن این دو نیرو داریم:

مثال 4

اختلاف فشار درون و بیرون جت آب زیر را بدست آورید.

توضیحات: ابتدا جت آب را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر ان را رسم میکنیم. نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون حباب در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد میشود ونیرویی دیگر برابر با کشش سطحی بر برش جت آب وارد میشود. با مساوی قرار دادن این دو نیرو داریم:

$\begin{cases} F_1=2 \sigma H \\ F_1=\Delta P D H \\ F_1=F_2 \end{cases}$

$\Rightarrow \$ $\Delta P=\frac{2 \sigma}{D}$

روشی دیگر:

توضیحات: این مسئله را می توان با استفاده از معادله یانگ-لاپلاس حل کرد که یکی از شعاع ها که طول استوانه است برابر بینهایت میشود و شعاع دیگر که مربوط به سطح مقطع استوانه میشود برابر با شعاع سطح مقطع است.

$\begin{align} & \Delta P=\left( \frac{1}{{{R}_{1}}}+\frac{1}{{{R}_{2}}} \right)\sigma \\ & {{R}_{1}}=\infty \\ & {{R}_{2}}=\frac{D}{2} \\ & \Rightarrow \Delta P=\left( \frac{1}{\infty }+\frac{1}{\frac{D}{2}} \right)\sigma \\ & \Rightarrow \Delta P=\frac{2\sigma }{D} \\ \end{align}$

مثال 5

دو حباب آب صابون داریم .اگر شیر را باز کنیم چه اتفاقی می افتد؟

توضیحات:چون اختلاف فشار درون و بیرون حباب با قطر D رابطه عکس دارد پس فشار درون حباب 2 که قطر کمتری دارد بیشتر از فشار درون حباب 1 که قطر بزرگتری دارد است. با باز کردن شیر، هوا از حباب 2 که فشار بیشتری دارد وارد حباب 1 میشود پس حباب 2 کوچکتر و حباب 1 بزرگتر میشود تا زمانی که قطر دو حباب برابر شود و اختلاف فشار درون و بیرون دو حباب با هم برابر شود و چون فشار بیرون هر دو حباب با هم برابر است پس فشار درون آنها نیز با هم برابر میشود و سیستم به تعادل میرسد پس داریم:

$\begin{cases} \Delta P_1= \frac{4 \sigma}{D_1} \\ \Delta P_2= \frac{4 \sigma}{D_2} \\ D_2< \ D_1 \end{cases}$ $\Rightarrow \$

$\Delta P_1< \ \Delta P_2$ $\Rightarrow \$ $P_1< \ P_2$

خاصیت مویینگی

آب تا جایی در لوله بالا می رود که بین تنش های رو به بالا و وزن سیال جابه جا شده تعادل بر قرار شود. این حالت در سیالی پیش می اید که تمایل به چسبندگی به مولکول های لوله داشته باشد.

حالت دیگری که پیش می اید،این است که سطح سیال پایین می رود و در مورد سیالاتی رخ می دهد که تمایلی به چسبندگی به ملکول های جداره ظرف ندارند مانند جیوه.

$\begin{align} & F-W=0 \\ & F=W \\ & \sigma L=W \\ & \sigma \pi D=\gamma V \\ & 2\pi R\sigma \cos \theta =\pi {{R}^{2}}h\gamma \\ & h=\frac{2\sigma \cos \theta }{\gamma R} \\ \end{align}$

اگر سطح به صورت نیم دایره باشد بنابراین در رابطه بالا $\theta$ را صفر در نظر می گیریم و در نتیجه رابطه بالا برابراست با:

$h=\frac{2\sigma }{\gamma R}$

توجه: در کشش سطحی ، تنش ها را از تقسیم نیرو بر طول بدست می آورند.

$\sigma =\frac{F}{L}$

مثال1

صعود آب در دمای 40 درجه سانتی گراددر لوله ای به قطر 6 میلی متر را بدست آورید.

$\begin{align} & F=W \\ & \sigma \left( 2\pi R \right)\cos \theta =\pi {{R}^{2}}h\gamma \\ & h=\frac{2\sigma \cos \theta }{R\gamma } \\ & h=\frac{2\times .0101\times 1}{0.003\times 9737}=0.0048m=4.8mm \\ \end{align}$

زاویه تماس

به علت اینکه نیروی چسبندگی مایع و نیروی چسبندگی شیشه بیشتر از جاذبه شیشه و هوا میباشد .

مثال 1

اختلاف فشار بالا و پایین آب بالا امده در لوله مویین را بدست آورید.

توضیحات: مقدار آب بالا آمده را جدا میکنیم و آن را بررسی میکنیم. ابتدا نیروهای وارد بر آن را رسم میکنیم. نیرویی برابر با وزن سیال بالا آمده به سمت پایین داریم. نیروی دیگری برابر با کشش سطحی به سمت بالا داریم. با مساوی قرار دادن این دو نیرو میتوان ارتفاع آب بالا آمده را بدست آورد و اختلاف فشار بالا و پایین آب برابر است با فشار آب بالا آمده توسط نیروی کشش سطحی پس داریم:

$\begin{align} & \sigma \pi D\cos \left( \alpha \right)={{F}_{y}} \\ & W={{F}_{y}} \\ & \Rightarrow \sigma \pi D\cos \left( \alpha \right)=\frac{\rho \pi {{D}^{2}}hg}{4} \\ & \Rightarrow \rho gh=\frac{4\sigma \cos \left( \alpha \right)}{D} \\ & {{P}_{i}}={{P}_{0}}-\rho gh={{P}_{0}}-\frac{4\sigma \cos \left( \alpha \right)}{D} \\ & \Rightarrow {{P}_{0}}-{{P}_{i}}=\frac{4\sigma \cos \left( \alpha \right)}{D} \\ \end{align}$

اگر به هر دلیلی h از ارتفاع لوله بیشتر شود چه اتفاقی می افتد؟ آیا فواره می زند؟
خیر چون اصول ترمودینامیک نقض می شود .
زاویه آلفا بیشتر و کسینوس آن کمتر می شود و حالت تعادل جدید اتفاق می افتد.

مثال2

دو حباب آب صابون به قطر D1موجود است این حباب ها به هم می پیوندند وحباب دیگری به قطر D2 ایجاد می کنند در شرایط دما ثابت (و هوا گاز ایده آل)D2 را بیابید ؟

توضیحات:با استفاده از قانون بقای جرم میتوان گفت جرم حباب نهایی برابر است با مجموع جرم دو حباب اولیه پس داریم:

چون جرم ثابت است

${{M}_{1}}+{{M}_{1}}={{M}_{2}}$

از طرفی داریم pمتناسب است با جگالی خواهیم داشت

$\begin{align} & {{P}_{1}}={{P}_{0}}+\frac{8\sigma }{{{D}_{1}}} \\ & {{P}_{2}}={{P}_{0}}+\frac{8\sigma }{{{D}_{2}}} \\ & {{M}_{2}}={{M}_{1}}+{{M}_{1}}\to {{\rho }_{2}}{{V}_{2}}=2{{\rho }_{1}}{{V}_{1}} \\ & {{P}_{1}}={{\rho }_{1}}RT,{{P}_{2}}={{\rho }_{2}}RT\to {{P}_{2}}{{V}_{2}}=2{{P}_{1}}{{V}_{1}} \\ & {{P}_{2}}{{D}_{2}}^{3}={{P}_{1}}{{D}_{1}}^{3}\to ({{P}_{0}}+\frac{8\sigma }{{{D}_{2}}})D_{2}^{3}=2({{P}_{0}}+\frac{8\sigma }{{{D}_{1}}})D_{1}^{3} \\ & {{D}_{2}}=\sqrt[3]{\frac{2({{P}_{0}}+\frac{8\sigma }{{{D}_{1}}})}{({{P}_{0}}+\frac{8\sigma }{{{D}_{2}}})}}{{D}_{1}}\xrightarrow{}{{D}_{2}}=\sqrt[3]{2}{{D}_{1}} \\ \end{align}$

مثال 3

دو صفحه مطابق شکل که با هم زاویه کوچکی را می‌سازند درون سیال قرار می‌دهیم رابطه‌ای برای ارتفاع سیالی که بالا میاید را بدست اورید.

توضیحات: ابتدا المانی از شکل را جدا کرده و نیروهای آن را رسم می‌کنیم و زاویه بین نیروی کشش سطحی و صفحه تماس را آلفا فرض می‌کنیم. سپس ارتفاع سیال بالا آمده در المان را بددست می‌آوریم و آن را روی کل شکل بسط می‌دهیم و داریم:

$\begin{align} & 2\sigma \cos \alpha dx=W \\ & W=mg \\ & \Rightarrow 2\sigma \cos \alpha dx=mg \\ & m=\rho v \\ & \Rightarrow 2\sigma \cos \alpha dx=\rho vg \\ & v=h\left( x \right)x\tan \theta dx \\ & \Rightarrow 2\sigma \cos \alpha dx=\rho h\left( x \right)x\tan \theta dxg \\ & \Rightarrow h\left( x \right)=\frac{2\sigma \cos \alpha }{\rho x\tan \theta g} \\ \end{align}$

مثال 4

سیال درون سیستم زیر مطابق شکل به تعادل رسیده است.اگر نیروی کشش سطحی نباشد فشار بالای سیال ${{P}_{{{0}_{1}}}}$ است با در نظر گرفتن نیروی کشش سطحی تغییرات فشار را بدست آورید.قطر لوله D است.

توضیحات: ابتدا از فشار هوا و نیروی کشش سطحی صرف نظر میکنیم. بعد نقاط A و B را روی شکل مشخص میکنیم که در راستای افقی روی یک خط باشند. چون این دو نقطه درون یک سیال قرار دارند پس فشار این دو نقطه با هم برابر است. طبق رابطه فشار داریم:

$\begin{align} & {{P}_{A}}={{P}_{B}} \\ & {{P}_{A}}={{P}_{{{0}_{1}}}}+\rho g{{h}_{1}} \\ & {{P}_{B}}=\rho g{{h}_{2}} \\ & {{P}_{A}}={{P}_{B}}\Rightarrow {{P}_{{{0}_{1}}}}+\rho g{{h}_{1}}=\rho g{{h}_{_{2}}} \\ & {{P}_{{{0}_{1}}}}=\rho g{{h}_{2}}-\rho g{{h}_{1}}\Rightarrow {{P}_{{{0}_{1}}}}=\rho g\left( {{h}_{2}}-{{h}_{1}} \right) \\ \end{align}$

توضیحات:با در نظر گرفتن نیروی کشش سطحی فشار تغیر میکند چون مقداری از سیال به دلیل نیروی کشش سطحی در لوله بالا آمده(به دلیل بزرگ بودن قطر استوانه از نیروی کشش سطحی در استوانه صرف نظر میکنیم و زاویه آب در لوله را صفر درجه میگیریم) که برای ارتفاع سیال بالا آمده در لوله داریم:

$\begin{align} & \sigma \pi D=W \\ & W=mg=\rho vg \\ & \Rightarrow \sigma \pi D=\rho \frac{\pi {{D}^{2}}}{4}{{h}_{3}}g \\ & \Rightarrow {{h}_{3}}=\frac{4\sigma }{\rho Dg} \\ \end{align}$

توضیحات: سپس اختلاف فشار بین ارتفاع اولیه و ارتفاع ناشی از نیروی کشش سطحی را بدست می آوریم و داریم:

$\begin{align} & {{h}_{4}}={{h}_{2}}-{{h}_{3}} \\ & \Rightarrow {{h}_{4}}={{h}_{2}}-\frac{4\sigma }{\rho Dg} \\ \end{align}$

توضیحات: باز فشار نقاط A و B را با هم برابر قرار داده و فشار را دوباره بدست میاوریم و داریم:

$\begin{align} & {{P}_{A}}={{P}_{B}} \\ & {{P}_{A}}={{P}_{{{0}_{2}}}}+\rho g{{h}_{1}} \\ & {{P}_{B}}=\rho g{{h}_{4}}=\rho g\left( {{h}_{2}}-\frac{4\sigma }{\rho Dg} \right) \\ & {{P}_{A}}={{P}_{B}}\Rightarrow {{P}_{{{0}_{2}}}}+\rho g{{h}_{1}}=\rho g\left( {{h}_{2}}-\frac{4\sigma }{\rho Dg} \right) \\ & \Rightarrow {{P}_{{{0}_{2}}}}=\rho g\left( {{h}_{2}}-\frac{4\sigma }{\rho Dg} \right)-\rho g{{h}_{1}} \\ \end{align}$

توضیحات:با کم کردن این دو فشار بدست آمده که یکی هنگام صرف نظر از کشش سطحی و دیگری با بودن کشش سطحی بدست آمد می توان تغییرات فشار را بدست آورد پس داریم:

$\begin{align} & {{P}_{{{0}_{2}}}}-{{P}_{{{0}_{1}}}}=\rho g\left( {{h}_{2}}-\frac{4\sigma }{\rho Dg} \right)-\rho g{{h}_{1}}-\rho g\left( {{h}_{2}}-{{h}_{1}} \right) \\ & \Rightarrow {{P}_{{{0}_{2}}}}-{{P}_{{{0}_{1}}}}=\rho g{{h}_{2}}-\frac{4\sigma }{D}-\rho g{{h}_{1}}-\rho g{{h}_{2}}+\rho g{{h}_{1}} \\ & \Rightarrow {{P}_{{{0}_{2}}}}-{{P}_{{{0}_{1}}}}=-\frac{4\sigma }{D} \\ \end{align}$

توضیحات: علامت منفی بدست آمده در تغییرات فشار نشان دهنده کاهش فشار در زمانی است که کشش سطحی باشد.

برچسب‌ها: کشش سطحی, مویینگی, قطره, کره

+ نوشته شده در دوشنبه دوم دی ۱۳۹۲ ساعت 12:15 توسط مهندس بيرامي |

مهندسی مکانیک|دانلود پروژه مکانیک|برق

مهندسی مکانیک|مهندسی برق|دانلود کتابهای مکانیک|گیربکس اتوماتیک|استاتیک|ترمودینامیک|سیالات|مهندسی برق